Missile Patriot
Source : Department of Defense. American Forces Information Service. Defense Visual Information Center.
Pré-requis
Avoir programmer :
- une fonction qui prend un nombre de secondes et affiche au format (hh:mm:ss)
- une fonction qui calcule le PGCD de 2 entiers
Corrigé
Le micro-contrôleur de l’antimissile Patriot stocke la valeur $\frac{1}{10}$ en ne conservant que 23 bits pour la partie décimale (codage en virgule fixe).
Il calcule le temps écoulé depuis son démarrage en multiples de $\frac{1}{10}$ème de seconde.
-
Écrire $
\frac{1}{10}$ en binaire, en conservant au moins 30 chiffres binaires après la virgule.\begin{aligned} & 0,1 \times 2 = \textcolor{red}{0},2 \\ & \left.\begin{aligned} 0,2 \times 2 & = \textcolor{red}{0},4 \\ 0,4 \times 2 & = \textcolor{red}{0},8 \\ 0,8 \times 2 & = \textcolor{red}{1},6 \\ 0,6 \times 2 & = \textcolor{red}{1},2 \\ 0,2 \times 2 & = \textcolor{red}{0},4 \\ 0,4 \times 2 & = \textcolor{red}{0},8 \\ 0,8 \times 2 & = \textcolor{red}{1},6 \\ 0,6 \times 2 & = \textcolor{red}{1},2 \\ 0,2 \times 2 & = \textcolor{red}{0},4 \\ \end{aligned}\right\rbrace \textit{suivi de 2 fois} \end{aligned}Soit $
0,1 = 0,00011001100110011001100110011_2$ -
Sachant que les registres du Patriot ne conservent que 23 bits après la virgule, quelle est, en base 10, la valeur qui est codée effectivement à la place de $
\frac{1}{10}$ ?La représentation binaire de 0,1 sur 23 bits est $
0,00011001100110011001100_2$. Le nombre $n$ associé correspond à :\begin{aligned} n & = 0 \times 2^{-1} + 0 \times 2^{-2} + 0 \times 2^{-3} + 1 \times 2^{-4} + \dots + 0 \times 2^{-23}\\ & = 2^{-4} + 2^{-5} + 2^{-8} + 2^{-9} + 2^{-12} + 2^{-13} + 2^{-16} + 2^{-17} + 2^{-20} + 2^{-21} \\ & = \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{2^9} + \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{2^{13}} + \frac{1}{2^{16}} + \frac{1}{2^{17}} + \frac{1}{2^{20}} + + \frac{1}{2^{21}}\\ & = \frac{2^{17}}{2^{17} \times 2^4} + \frac{2^{16}}{2^{16} \times 2^5} + \frac{2^{13}}{2^{13} \times 2^8} + \frac{2^{12}}{2^{12} \times 2^9} + \frac{2^9}{2^9 \times 2^{12}} + \frac{2^8}{2^8 \times 2^{13}} + \frac{2^5}{2^5 \times 2^{16}} + \frac{2^4}{2^4 \times 2^{17}} + \frac{2}{2\times2^{20}} + \frac{1}{2^{21}}\\ & = \frac{2^{17} + 2^{16} + 2^{13} + 2^{12} + 2^9 + 2^8 + 2^5 + 2^4 + 2 + 1}{2^{21}} \\ & = \frac{131072 + 65536 + 8192 + 4096 + 512 + 256 + 32 + 16 + 2 + 1}{2097152} \\ & = \frac{209715}{2097152} \\ & \simeq 0.09999990463256836 \end{aligned} -
Quelle est l’erreur approximative commise sur la représentation de $
\frac{1}{10}$ ?L'erreur approximative sur la représentation de $
\frac{1}{10}$ : -
Combien de signaux d’horloge le Patriot reçoit-il en 100 h de fonctionnement ?
Le nombre de signaux d'horloges $
s$ que reçoit un missile Patriot en 100h de fonctionnement :math \begin{aligned} s & = \textit{nombre de signaux par seconde} \times \textit{nombre de secondes en } 100h \\ & = 10 \times 60 \times 60 \times 100 \\ & = 3600000 \end{aligned} -
En tenant compte de l’erreur calculée à la question 3., quel est le décalage de l’horloge du Patriot par rapport à l’heure réelle au bout de 100h ?
Le décalage de l'horloge $
d$ du missile Patriot au bout de 100h de fonctionnement :\begin{aligned} d & = \textit{nombre de signaux d'horloges sur } 100h \times \textit{erreur approximative de la représentation d'un } \frac{1}{10} \\ & = s \times \epsilon \\ & = 3600000 \times \frac{1}{10485760} \\ & = 360000 \times \frac{1}{1048576} \\ & = \frac{360000}{1048576} \\ & = \frac{5625}{16384} \\ & \simeq 0,34 s \end{aligned} -
Sachant qu’un missile se déplace à une vitesse d’environ 1 676 m/s, à quelle erreur de position en mètres correspond le décalage d’horloge d’un Patriot ayant fonctionné 100 h sans interruption ?
Soient :
- $
v$, la vitesse du missile, 1676m/s, - $
d$, le décalage de l'horloge calculée à la question 5, - $
e$, l'erreur de position d'un missile Patriot, ayant fonctionné 100h, est :
- $
-
Conclure, sachant que, pour atteindre sa cible un Patriot doit l’approcher à moins de 500 m.
La question 6 nous a permis de calculer l'erreur de position du missile Patriot ayant fonctionné pendant 100h. Le décalage d'un tel missile est supérieur à la distance d'approche finale de 500m. En conclusion, le missile Patriot n'atteint pas sa cible.
N.B :
- En 1991, pendant la guerre du Golfe, un anti-missile Patriot manque l’interception d’un missile Scud. Bilan : 28 soldats morts.
- Si au lieu de tronquer $
\frac{1}{10}$ on avait arrondi au plus proche : $0,00011001100110011001101_2$ alors l’erreur aurait été de 0,000000024 au lieu de 0,000000095 soit environ 140 m au lieu de 575 !